J神数学学习语录（字字珠玑，句句闪光）
Editor's Note
吴老师以积极倡导学生尽早培养数学自学能力而闻名，他一系列文章都围绕建立自学能力而展开，有理论，有方法，有路线，还有配套资源。
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J神，京城一独立低调名师，我有幸与之结识于数学交流群。
J神，为人谦逊，知识面宽广，解题技巧纯熟，教学理念高明。
现征得J神同意，将其在群聊时谈及的数学学习相关经典语录，整理刊登公众号上，以飨读者，受益于更多人！
全文字字珠玑，句句闪光，老吴强烈建议您：收藏复制打印，并静心精读深思！
关于教育理念
1.孩子都是独一无二的，所以教育方法无法简单地复制，但是大的方向和理念是相同的。
2.父母的参与和引导确实学问更大，比简单地辅导功能难多了。
3.早期多参与，后面慢慢淡出。
4.平时建议孩子们多读些数学书。有偏故事的，有偏作图的，也有逻辑思维的，都可以从中受益，不必只拘泥于教辅类的。
5.我教娃过程中最爱做的一件事就是想象：如果我是孩子会怎么看待这道题或是这门课，然后怎么能更快地理解或产生兴趣。
6.兴趣和好奇心最重要，好胜心也有帮助，分孩子而论。
7.娃也会有虚荣心，如果你时不时问她些问题，尤其是有难度还在她可及范围内的问题，她学习的动力会大增的。
8.习惯的培养要更用心，太多细节。
比如听讲的习惯，做作业的时间要求，错题的订正，讲题习惯等。
速度也要从小培养，速度不训练很难出来。
9.从小的基本功确实要尽量练好，包括草稿纸的习惯。
现在大部分孩子知识都学的很多，学的很快，但是枯燥的基本功做的少或不够，所以总感觉脚底不稳。
10.不喜欢多写是很多娃的通病。
边写边思考肯定效率更高，尤其是难题。
很多大师的手稿也很随性，灵感来了随便拿张纸就写。
草稿纸，认真来说规范点还是更好。
对折，写题号，抓住主要的几点。
11.每个孩子的核心欲望和恐惧是不一样的，思考方式也不一样。
需要因势利导，不能简单复制。
但是基本功都不能含糊，比如计算还有模型的梳理，记忆和推导。
12.核心的知识点，模型和方法论要零容忍百分百搞定，计算要百分百过关，否则做再多题目也不能保证成绩一直稳定提升。
13.我带娃学习的时候，提醒他尽量不要说“难”这个字。
再难的知识都试图去找到你可以理解的切入点，想办法链接之前学过的内容。
孩子们的潜质需要不断地挖掘提升，适应了相对高难度的学习课内就容易降维打击了。
14.孩子们从小要锻炼无论多难的题目，
都尝试找到一个入口慢慢往里走试一试。
无论方法好坏，先能把题目做出来为佳，
然后不断地思考对比不同的方法，就会慢慢融会贯通。
所以前期的各种试错也不一定是坏事。
15.数学像弹簧，你弱它就强。
有的时候要对自己“狠”一点，
突破了就上一个台阶，
别低估娃和自己的潜力。
阶段性狠一下，不能一直在冲刺。
16.学习从来都是综合的事，兴趣只是一个纬度。对于大部分娃，成长过程中，有兴趣也会慢慢随着成绩和结果消磨掉。
17.回到鸡娃的主题，不能单纯为了考大学而鸡，而是培养孩子从小能认真专注地做事，探究以及迎难而上的精神，这些才是将来工作更需的素质和能力。
18.我想着人生就是一场旅途，除了埋头前行外也要好好欣赏沿路的风景。
19.努力用最常规的思路解决一道题，收获或许大于一切技巧。
20.真正的理解是随着知识体系的完备，
对一个概念的理解越来越透，不同的概念模块之间的关联越来越清晰。
21.学习相对比较高的境界还是总结和链接能力，最后体现成自学能力。
22.需要给孩子规划一个方向，
感觉没有目标的话走起来容易迷失。
人生目标，升学目标，学习目标都算，有近有远。
23.以中高考为例，长时间规划的应该是打好基础，步步为营。
同时根据孩子情况随时调整上限。
如果时间短那就只能突击抓核心模型和方法去提分。
24.初中靠谱的学法还是尽快达到中考水平，同时做好高中的准备。
竞赛这条路谨慎选择，要根据孩子的学习状态动态调整目标，真是竞赛的料后面自会呈现。
25.六年级和初中三年是最黄金的几年，
知识和习惯培养都是最后的黄金期，
高中大部分就定型了。
26.数学是基础思维，学的好对其他学科都有帮助，尤其是自学成才的。
练习多问为什么，一步一步往回推，
另外多给别人讲，让别人问你问题，
努力探究知识和题目背后的逻辑。
27.数学学习过程中的收获绝不是数学知识的积累。
从看到题目之间的关联和相似，
到模块之间的关联和相似，
再到学科之间的关联和相似。
很多证明的过程和逻辑才是学习的精髓。
知其然，知其所以然，知何由以知其所以然。
28.数学搞通了，学习能力会提升很快。
而在未来高速发展时代，学习新知识以及跨界学习的能力很关键。
29.像初中的几何题，各种辅助线和模型就是知识层面，
再往后的本质分析就是硬构造全等。
再往后想就是图形的平移，旋转，对称等各类变换或点的轨迹。
应该最后达到其实怎么做应该都能做出来的感觉，只是选择的时候优选更好的入口或路径。
无论递推，递归，类比，特殊值，数形结合，排除法等只是常用的工具罢了。
30.几个月的公立校教学经历使我更加坚定了做减法的思路。
理解和掌握最核心的知识点与方法论，
同时理解透一些经典的题目对于普娃来说性价比最高。
我到后期除了计算题和规定的默写外，
作业量已经降到不到之前的一半，
但是孩子们的学习效果还是不断上升的。
31.很多校内的老师上课带着做题比较多，
理论原理讲的少或者一带而过，
作业也留的比较多，但实际效果可能反而不好。
32.教学还是要引导孩子的兴趣，
思考与自驱为主。
其次因材施教，
再次之是方法论和思想，
知识层面排最后。
关于计算
1.重视计算，保持热度，也不用搞的太过。
有些计算能力随着年龄增长后会慢慢提升。
但是如果没有一直坚持练，很多孩子到了初高中会吃大亏。
2.计算也是个细水长流的活，
每天几分钟，坚持更重要。
初中先练有理数计算，然后是整式和方程。
3.计算和背诵都比较枯燥，但只要坚持过了那道坎，类似长跑中的疲劳点，后面就好多了。
4.计算问题偶尔还有出错的，一定要格外注意。
务必努力做到又快又准。
计算不过关的一定要倒逼自己，
每天至少抽10分钟练练计算，
这样你的作业效率会越来越高，
总体上是越来越省时间的。
关于刷题
1.学数学肯定要刷题。
刷题的目的是为了更好地理解和链接所学的知识与方法。
我喜欢做透一道题顶十道题的感觉。
当年在集训队我就属于做题少的，
但是很多题我会做很多遍，
并且分析它们之间的关联，
以及这道题还有什么可能的变数，
到最后解题时思路就自然呈现了，
再学任何新课时也自然就会了。
2.我一贯的理念是做一堆书的题不如做透一本经典书，
就像小奥的高思导引，初中的新思维，把一套搞精。
对于普娃来说，这套教材最好有答案和解析。
3.一题多解也最好建立在知识和方法的系统链接上，否则威力也会打折。
泛泛地了解很多解法而不思考它们的关联和内在逻辑，有时会更乱。
4.熟练度对于考试很重要。
包括计算的熟练，模型的熟练，题型的熟练，方法论的熟练等，也包括解题的技巧。
关于自学教材
1.现行教材有点简单，内容上有地方不连贯，纯粹为了降低难度，导致一些知识点的逻辑关系没有讲透。
2.自学初中，之前推荐的自学小丛书和实验教材都不错，都是多年验证过的好教材。
如果还觉得难，先学习校内的课本也可以。
3.如果只是考虑高中，甲种本就可以。
实验教材是初高中一体，连贯性好些，也是不错的选择，而且高中内容和甲种本也比较接近。
小丛书的逻辑我比较喜欢，都是不错的教材。可以自己看看，选择一套自己偏爱的。
关于小奥和提前学
1.学习数学，一味超前搞难的不行，
但是太基础不拔高也不行，需要不断地动态调整，慢慢提高自己的上限。
2.现在的问题是全民超前，家长无法定位什么样的孩子需要超前以及如何超前。
中学知识不断向小学下放，
有些是有一定的道理的，
有些就是盲目拔苗了。
具体标准也因孩子而异，
所以很难泛泛去讲利弊。
3.把奥数一竿子打死也比较武断。
因为很难给奥数下个准确定义，
不能把所有的课外拓展都当做奥数。
真正有害的是在不了解奥数基础上，
盲目拔高或追求成绩，导致孩子对数学产生厌倦及错误的逻辑。
4.小奥学习的最大价值在于对每个模块的系统认知以及方法论的梳理。
如果只是做题不总结思考和梳理，效果会打折扣。
包括导引里的题目，要引导孩子多讲题以及思考题目之间的关联和题目背后的逻辑，甚至模块之间的关联，避免陷在题海里。
5.如果不是像帝都恐怖的xsc，
小奥把导引3星题都搞定就可以了，性价比最高，后面就可以试试学初中了。
小奥里的应用题，计算和几何和中学关联紧，尽量掌握地好一点，
数论和组合学些基本理论体系对后面中学的学习也有帮助。
6.进度慢也没有关系，最大的问题是学了很多知识，但是无法建立体系和方法论的理解内化，忽略了数学学习的本质。
数学的学习比马拉松还明显，
随着能力的提升学习素质会指数上升，
这就是为什么后面高中可能一年搞定，
大学也很快自学完的原因。
关于模型和套路
1.以很多中考压轴题为例，万变不离几个核心解题思路。
而这些思路必须深入理解地很透才能运用自如，简单地记模型和套路容易走偏。
能默写推导是第一步，
下一步需要在不同的题目中践行然后总结关联，
最后发现知识点和方法都能系统地链接在一起就大成了。
2.深入理解和掌握模型对于考试意义重大，提高正确率同时节省时间。
这些工作平时做扎实，不要留到考场上去回忆和推导。
几何大题基本都和模型相关。
对于普娃，搞熟模型，再把从已知条件分析与结论回推找桥梁思路多多实践，
几何就慢慢找到感觉了。
3.公式和定理一定要会证明和推导，包括各种模型。
总结出模型只是为了方便梳理，不是一味套用。
模型的好处是看到相关的图和条件能迅速进入或利用中间结论解题，
省时还更准确，另外没有思路时试试用可能的模型找到入口。
4.各种图形，条件，辅助线方法多了孩子们会一时无处入手，东试西试既浪费了时间也不一定能做出来。
能熟练掌握及推导各种模型以及变式，
然后根据题目条件快速定位应该使用哪个模型和方法是最快的提分办法。
5.把所谓的套路理解透就变成思路了，
关键是它们之间的关联。
做题的过程就是深化这些思路和方法的过程，慢慢找到那种自然而然的感觉。
6.真正地完全打通模型还要等搞熟三角函数和解析几何后，把边角关系都尽量能硬算出来。
暴力解也是一种美，无招胜有招。
7.对于落后的娃来说，最好的提分路径就是优先把最核心的知识点，模型和题型搞透，先保证考出中等水平，再慢慢突破。
8.对于普娃来说，能熟练掌握并运用核心模型和方法论肯定是提分和能力的捷径。
只是需要引导和梳理，防止走偏。
如果所有的模型会证明，了解来龙去脉，
并能系统链接，很多难题确实可以秒杀。
因为应试体系内大部分题逃不过这些“套路”的组合。
9.几何不好怎么办？两个方案：
(1) 先把十几个全等模型和思路梳理好，
然后通过新思维和新方法的题目练习落地。大视野这两部分题目也不错，可以借鉴。
(2) 把旋转先学了，从旋转角度往回看全等就清晰多了。
难题基本上就是旋转全等和对称全等，
很多不好想的辅助线做法实际是从后往前看的。
旋转和共圆掌握熟后，再配合20个核心模型，前后夹击，理论上几何题的辅助线也就是多试两次，总能找到突破口。
10.对于一般的普娃，熟练模型和方法论效率最高，因为他们同时面临做题没思路和没时间两大问题。
之前公立班一个几何非常弱的娃，这次期中上了九十分，就是采用这个方法。
模型的证明推导特别认真，有任何问题就再写一遍。
最多的一次我记得有个模型默了6遍，
很多题目考后按照要求总结思路和模型关联，半年下来进步很大。
闲聊知识点
1.数论入门就是先梳理好整除，
因倍质合以及同余的知识框架，
然后重点练好上面说的几个基本功。
小奥数论模块中第一章整除可以完全掌握，同余前两节掌握即可，完系与剩余系可以后面慢慢体会。
第三章的同余方程略有点难度但是努把力应该可以掌握，而且解题能力可以上一个大台阶。
2.正好今晚的轴对称课给孩子们再分析一下为什么这些几何题事实上怎么都可以做出来。
因为从条件和结论的关系来看，大不了就是硬做全等。
只不过有60度条件时有时自然构造出了等边三角形，所以实际上也不需要刻意记构造等边这个思路。
就像从旋转角度理解手拉手模型，很多条件和结论都是再自然不过的了。
衍生出来的什么肩并肩，脚拉脚都是一个道理。
3.昨天有小朋友问到递归和递推的区别，顺便分享一下。
递推是正向，由起点，某个已知或简单情况逐步往后推导得到复杂情况结论或通解。
小奥里类似于找规律。比如等差数列求和，分蛋糕问题等。
递归是逆向，由结论向出发点或已知条件回推。
例如计数问题中的标数法。到达终点需要知道它下方和左方的步数，然后每个格点依次回推直到起点。
类似的还有爬楼梯问题也可以采用这个思路。
这两个都是重要的方法论，代表了两种解题思路，即正向和逆向。
孩子们可以多多实践。
计数和组合题中用的多一些，但实际上每个模块都有应用，包括实际生活和工作。
4.数论同余问题的核心基础就两个：
第一个是1-20以内数做除数的余数特征，这个和判断整除的方法完全一致，因为整除就是余数为0的情况；
第二个就是物不知数。已知一个数分别除以两个数或三个数后的余数，则最小一个满足这些条件的数可以求出来。
熟练掌握这两个基础后余数问题解起来就轻松多了。
同余的另一个难点就是选择mod哪一个，
这又回到一些常见数的整除和余数性质。
5.小奥计算模块里要把平方差，完全平方和，连续n个数的平方和以及立方和公式这些基本常用公式搞明白背下来，初中有很大帮助。
每个公式都可以结合几何构图来背，事半功倍。
数列里有很多高级证法，但是不如构造来的简单明了。
6.刚收到的学生证明海伦公式的默写作业，完成地非常好。它实际上也是后面三角函数余弦定理的基础。
公式的证明过程本身就是很多题目的解题思路，搞不透的话就在某些方面可能会打折扣，但是这种影响学生不一定能体会到。
默写一遍就能更理解课上讲的即便是已知三角形的三边长，
如果求面积也是可以选不同的公式。
比如都是有理数，优选海伦公式。
但是有无理数的话，显然秦九韶的三斜求积更方便快捷。
7.行程难题基本上就是多次往返，多人相遇追及和多次变速。
都掌握好了行程题基本上就不会丢分了。
柳卡图的思路就是把行程题变成几何题。
多人相遇追及无非就是每人对应一条线段，然后根据比例关系求解。
8.从几何原本的公理出发，基本几何概念入手慢慢进入几何的世界，领悟几何殿堂的壮观。
应该先搞懂几何初步中点线面，平行垂直这些基本概念，
然后从面积法角度去理解小奥几何模型，实际就是共边共角和相似。
小奥把面积法和弦图两样搞透就受益无穷了。
9.方程还有一个笨办法练，就是先设所求量为x，然后任选题目中一个量，从两个角度进行描述，中间画个等号就是方程。
这样孩子对方程的理解可以很深。尤其适合时间相对充裕的小学阶段。
10.方程解应用题是基本功，如果没过关必须马上补，后面多元方程和不等式，分式方程，一元二次方程都还会有类似题。
优先搞定经济，行程和工程类的应用题。
11.数轴动点就是考察对绝对值几何意义的理解，只要抓住a-b的绝对值是数轴上a和b两点之间距离这个关键点就能找到突破口。
12.几何题角度问题考的比较多，要逐步建立方程思维，用代数法解几何题，熟悉把题目中的已知条件转化成方程求解。
没有思路时至少要把条件中可以推出的等式列出来然后慢慢扩展，找中间结论，向问题靠拢。
13.初中最有用的三个不等式：绝对值不等式，均值不等式和柯西不等式。
14.低年级时多体会掌握尺规作图的逻辑，
年级高了会越来越依赖计算，
但是作图的整体逻辑与轨迹思路依旧对解题帮助很大。
15.原则上教科书上没有黑体红体标注的结论都需要证明，中考前需要让学生梳理一下哪些定理不能直接用，以免扣分。
16.已知共边的两个三角形的所有内角，求它们的顶点连线与某条边的夹角都是角格点题目。
最常见的就是这三大类，角元塞瓦加正余弦都可以做出来，几何法就要靠观察角度特点构造。
感谢J神无私分享数学学习心得，
感谢胡神辛苦整理成文！
来都来了，点个“在看”和“赞”，标星关注一波再走吧。
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13.提升数学“符号意识”“符号感”的四大名著（书虽然都小众，但都快要卖断货了）
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